《雞兔同籠》教學方案設計與課堂實錄

時間：2022-10-08 03:26:00 方案

《雞兔同籠》教學方案設計與課堂實錄

　　教學目標：

《雞兔同籠》教學方案設計與課堂實錄

　　1．了解雞兔同籠問題，感受古代數學問題的趣味性。

　　2．嘗試用不同的方法解決雞兔同籠問題，使學生體會假設和代數方法的一般性。

　　3．在解決問題的過程中，培養學生的思維能力，并向學生滲透轉化、函數等數學思想和方法。

　　教學重點：用假設法解決雞兔同籠問題。

　　教學具準備：課件。

　　教學過程：

　　一、創設情境，激情導入

　　1．出示原題

　　師：同學們，我們國家有著幾千年的悠久文化，在我國古代更是產生了許多位數學家和許多部數學著作，《孫子算經》就是其中一部，大約產生于一千五百年前，書中記載著這樣一道有名的數學趣題（課件出示《孫子算經》中的原題）：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

　　2．理解題意

　　師：同學們知道這道題的意思嗎？請試著說一說。

　　生：這道題的意思是現在，雞和兔在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問雞和兔各有多少只？

　　師：這道題的意思正如同學們所想的一樣，也就是：（課件出示）籠子里有若干只雞和兔，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，雞和兔各有多少只？

　　3．揭示課題

　　師：這就是著名的雞兔同籠問題，也正是這節課要研究的問題。

　　[評析：教學即對文化的傳承與弘揚，數學教學也不例外。課初，教師利用我國古代數學名著中的數學趣題直接導入新課學習，讓學生感受到了數學文化的悠久與魅力，激發了探究的興趣和動機，明確了本節課學習的目的與要求。導入新課的方式多種多樣，惟有適合學生學習所需的才是最佳。]

　　二、合作探索，主動構建

　　1．出示例1

　　師：為便于研究，我們可先從簡單問題入手，把題中的35個頭和94只腳分別換成8個頭和26只腳，就變成了例1：籠子里有若干只雞兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳，雞和兔各有幾只？

　　2．理解題意

　　師：從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳分別是什么意思？

　　生：從上面數，有8個頭是說雞和兔一共有8只；從下面數，有26只腳是說雞腳和兔腳數共是26只。

　　3．探索策略

　　（1）猜想法

　　師：雞和兔各有幾只呢？我們不妨猜猜看。

　　生1：3只兔，5只雞。

　　生2：6只雞，2只兔；7只雞，1只兔；5只兔，3只雞。

　　師：偉大的科學家牛頓曾說：有了大膽的猜想才會有偉大的發明和發現。同學們猜的對不對，不妨驗證一下。

　　生1：一只兔4只腳，3只兔就有12只腳；一只雞2只腳，5只雞就有10只腳，一共就是22只腳，看來沒猜對。

　　生2：6只雞、2只兔一共20只腳，也沒猜對；7只雞、1只兔共18只腳，也不對；5只兔、3只雞共26只腳，猜對了。

　　師：在4次猜想中，只有1次猜對了，你們覺得用猜想法解決雞兔同籠問題好不好？

　　生：不是很容易猜出正確答案，而且當頭和腳的只數越多時，越不容易猜出答案。

　　師：看來，我們還有研究新方法的必要。

　　[評析：既鼓勵學生大膽猜想，又能讓學生體會到猜想法的局限性，還能激發學生探索解決問題新策略的興趣，這樣的教學正是新課程所需要的高效教學。]

　　（3）假設法

　　①假設全是雞

　　師：我們先從表格中右起的第一列，8和0是什么意思？

　　生：就是有8只雞和0只兔，也就是假設籠子里全是雞，這樣就有16只腳。

　　師：實際腳的只數是26只，這樣就籠子里就多出了10只腳，該怎么辦呢？

　　生：用剛才我們發現的規律：在雞兔總只數不變的情況下，每增加1只兔、減少1只雞，腳的只數就會增加2只，應該增加5只兔，腳的只數才變成26只，即10里面有5個2。

　　師：上面的過程能用算式表示出來嗎？請同學們試試看。

　　（學生試著列算式，請一個學生到黑板上去板演。）

　　師：孩子們都寫完了嗎？多聰明啊！這是一個同學寫的算式，我們來聽聽他是怎么想的。

　　生：（對著自己寫的算式說想法）假設籠子里全是雞，就有28=16只腳，而籠子里實際有26只腳，這樣就多出了26－16=10只腳，而1只兔比1只雞多2只腳，這樣就有102=5只兔，雞的只數就是8－5=3只了。

　　師：說得多好哇！為了讓大家進一步理解這種方法，下面我們邊看圖邊分析（課件演示）。

　　師：算出來后，我們還要檢驗算的對不對，誰愿意口頭檢驗。

　　生：32+54=26（只），5+3=8（只）。

　　師：看來做對了，最后寫上答語。

　　②假設全是兔

　　師：我們再回到表格中，看看左起第一列中的8和0是什么意思？

　　生：假設籠子里全是兔。

　　師：先用假設全是雞的辦法解決了這個問題，現在假設全是兔又應該怎么分析和解決這個問題呢？請同桌邊討論邊寫算式。

　　（學生討論寫算式，然后指名板演。）

　　師：這是一位同學寫的算式，我們來聽聽他是怎么想的。

　　生：假設籠子里全是兔，就有48=32只腳，這樣籠子里實際的腳數就比假設的腳數少了32－26=6只腳，1只雞比1只兔少2只腳，這樣就有62=3只雞，也就知道有8－3=5只兔了。

　　課件演示：假設法中假設全是兔的情況。

　　師：在列表的基礎上，我們想到了兩種算術方法。回頭看看這兩種方法的第一步，一個假設全是雞，另一個假設全是兔，我們給這兩種方法起個名字吧。

　　生：假設法。

　　師：我們都認為猜想法和列表法有局限性，假設法還有局限性嗎？

　　生：（討論后）用假設法應該沒有局限性了。

　　[評析：讓學生認識、理解、運用假設法是本節課的教學重點，也是教學難點。為此，教師以表格中數據變化規律為探究基礎，以小組合作、師生互動為探究方式，以課件動態演示為探究輔助手段，巧妙地將認知經驗和思維過程轉化成了數學語言，即數學算式，從而形成了解決問題的全新的一般策略，發展了學生的思維水平和推理能力。]

　　（4）代數法

　　師：在解決雞兔同籠問題時，除了假設法沒有局限性外，還有別的也沒有局限性的一般方法嗎？

　　生：方程的方法。

　　師：那么就請同學們用列方程的方法試一試。

　　（全班嘗試，一名學生板演。）

　　師：我們來聽聽這個同學的想法。

　　生：設有x只兔，雞就有（8－x）只。列出方程4x＋2（8－x）=26，解是x=5，即有5只兔，8－3=5只雞。

　　師：老師想問你，這里的 4x和2（8－x）分別表示是什么？

　　生：4x是兔腳的總數，2（8－x）是雞腳的總數。

　　師：方程解完了也要注意檢驗，列方程的解法還有個名字也就叫代數法。

　　[評析：代數法是學生在五年級已學的舊方法，但運用到解決雞兔同籠問題之中又是新策略。教師以舊知識和舊方法為基礎，放手讓學生大膽嘗試、自主探究，并抓住其中的疑難點設問，幫助學生真正理解過程、掌握方法、提升技能。]

　　4．小結方法

　　師：請同學們回憶一下，在解決雞兔同籠問題時，用到了哪些方法？

　　生：猜想法，列表法，假設法和代數法。

　　師：要你們解決《孫子算經》中原題，你現在會選用哪種方法呢？

　　生1：我選擇假設法，假設法比較簡便。

　　生2：我選擇代數法，代數法也好理解。

　　師：下面同學們就用自己喜歡的方法解決這個問題。

　　[評析：在計算教學中，需要算法多樣化，更需要算法的優化；同樣，在解決問題教學中，需要策略多樣化，更需要策略的優化。發散思維與收斂思維應該兼顧并進。但優化并不等于強加，優化也強調自主和需要過程。在這里，教師對此都恰倒好處地予以了關照。]

　　三、分層練習，深化認識

　　1．解決原題

　　生：先獨立完成《孫子算經》中的原題，后相互評議。

　　師：剛才我們用自己的方法解決了這個問題，那么《孫子算經》中又是怎樣解決這個問題的呢？同學們想知道嗎？我們一起去看看？（課件演示抬腿法）同學們古人的解法巧妙嗎？如果大家對這種解法感興趣，課后可以再研究。請同學們想一想，在日常生活中還有哪些情況類似于雞兔同籠問題？

　　2．舉出實例

　　生1：買了一些蘋果和梨子，告訴蘋果和梨子的單價和總數量，還有總的價錢，求蘋果和梨分別買了多少千克。

　　生2：自行車和汽車一共有幾輛，一共有多少個輪子，求汽車和自行車分別有幾輛。

　　師：可見生活中類似于雞兔同籠的問題有很多，這些問題都可用不同的數學方法來解決，課后可用我們喜歡的方法解決這些問題。

　　3．課堂作業

　　從第115頁做一做中自選1～2道題完成。

　　[評析：《孫子算經》中原題的解決，讓學生排除了課初的懸念；作為特殊而巧妙的古代抬腿法的課件簡介，讓學生進一步感受到了我國古代數學的魅力；放手讓學生對生活中類似于雞兔同籠問題的列舉，讓學生體會到了此類問題在現實中的廣泛存在，進而凸顯了本節課的學習價值；書面作業的當堂完成和自由選擇，足以體現了教學的高效和學生解決問題技能的及時訓練與提升，以及對學生學習自主性的尊重。]

　　[總評：雞兔同籠問題過去是少數精英學生學習的競賽內容，如今是全體學生學習的一般內容。如何能較好地達成教學目標，讓全體學生學得了、學得好、學得樂，廣大教師都在密切關注。從本節課的教學效果來看，學生的表現還的確如此。究其原因，主要是教師特別注重了以下主要方面。

　　1．注重解題策略的多樣

　　教學中，教師組織學生多手段、多層面、多角度地探索問題，學生先后運用猜測法、列表法、假設法、代數法等分析和解決問題，從而獲得了分析問題和解決問題的基本方法和一般方法，體驗了解決問題策略的多樣性，發展了創新意識。在注重解決問題策略多樣化的同時，教師還注重了解決問題策略的自主優化，注重了不同策略間的相互聯系和影響，注重了解決問題策略的局限性和一般性。

　　2．注重思維能力的培養

　　讓學生在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，用數學語言清晰地表達自己的想法是培養學生思維能力的重要途徑。從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗證到表格中數據變化規律的發現，從列表法很快自然聯想到假設法、代數法，學生的思維經歷了從無序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創新、從膚淺到深刻等方面的巨大變化，學生的思維能力也隨之得到了極大的提升。

　　3．注重數學思想的滲透

　　數學廣角是人教版課程標準實驗教科書中新增的教學內容之一，主要滲透一些基本的數學思想和方法。本節課作為本冊教材數學廣角中的唯一教學內容，也要求教師有意識的向學生滲透數學思想和方法。如：用容易探究的小數量替代《孫子算經》原題中的大數量的替換法解決問題，滲透了轉化的思想和方法；用列表法解決問題，滲透了函數的思想和方法；用算術法解決問題，滲透了假設的思想和方法；用方程法解決問題，滲透了代數的思想和方法等等。這些對于學生而言，無疑奠定了可持續發展的堅實基礎。

　　4．注重數學文化的傳承

　　雞兔同籠問題是《孫子算經》中一道影響較大的名題，一直流傳至日本等國，引起了許多國家的眾多數學愛好者的廣泛關注。教學中，教師把《孫子算經》、《孫子算經》中關于雞兔同籠問題的原題和《孫子算經》中用抬腿法這種特殊而靈巧的方法解決這一問題的過程，用課件科學而生動地再現于課堂，極大地激發和調動了學生的探究興趣，充分地傳承和弘揚了經典的數學文化，較好地體現和提升了課堂的教學品味。]

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