數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)
按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，而將數(shù)列{an} 的第n項(xiàng)用一個具體式子（含有參數(shù)n）表示出來，稱作該數(shù)列的通項(xiàng)公式。為大家總結(jié)數(shù)列求通項(xiàng)的方法，一起來看看吧！
一、累差法
遞推式為：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)
思路：:令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=f(1)
a3-a2=f(2)
a4-a3=f(3)
……
an-an-1=f(n-1)
將這個式子累加起來可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)
當(dāng)然我們還要驗(yàn)證當(dāng)n=1時,a1是否滿足上式
例1、已知數(shù)列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an
解： 令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=2
a3-a2=22
a4-a3=23
……
an-an-1=2n-1
將這個式子累加起來可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
當(dāng)n=1時,a1適合上式
故an=2n-1
二、累商法
遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）
思路：令n=1,2, …,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
……
an/an-1=f(n-1)
將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)
∵f(n)可求積
∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)
當(dāng)然我們還要驗(yàn)證當(dāng)n=1時，a1是否適合上式
例2、在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an
解： 令n=1,2, …,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
……
an/an-1=f(n-1)
將這個式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)
即an=2n
當(dāng)n=1時，an也適合上式
∴an=2n
三,構(gòu)造法
1、遞推關(guān)系式為an+1=pan+q (p,q為常數(shù))
思路：設(shè)遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)
故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)
構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an+q/(p-1)
bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數(shù)列.
故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an
例3、(06重慶)數(shù)列{an}中,對于n>1(nN)有an=2an-1+3,求an
解：設(shè)遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3
故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)
構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an+3
bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數(shù)列且公比為3
bn=bn-1·3,bn=an+3
bn=4×3n-1
an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1
2、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))
思路：在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得
an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q
構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q
故可利用上類型的解法得到bn=f(n)
再將代入上式即可得an
例4、數(shù)列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an
解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得
2n+1an+1=(2/3)×2nan+1
構(gòu)造數(shù)列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1
故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n
2nan=3-2×(2/3)n
an=3×(1/2)n-2×(1/3)n
3、遞推式為：an+2=pan+1+qan（p,q為常數(shù)）
思路：設(shè)an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)
也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q
解得x,y，于是｛bn｝就是公比為y的等比數(shù)列（其中bn=an+1-xan）
這樣就轉(zhuǎn)化為前面講過的類型了．
例5、已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an
解：設(shè)an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)
也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3
可取x=1,y= -1/3
構(gòu)造數(shù)列｛bn｝，bn=an+1-an
故數(shù)列｛bn｝是公比為-1/3的等比數(shù)列
即bn=b1(-1/3)n-1
b1=a2-a1=2-1=1
bn=(-1/3)n-1
an+1-an=(-1/3)n-1
故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN*)
例題
1、利用sn和n的關(guān)系求an
思路：當(dāng)n=1時，an=sn
當(dāng)n≥2 時, an=sn-sn-1
例6、已知數(shù)列前項(xiàng)和s=n2+1,求{an}的通項(xiàng)公式.
解：當(dāng)n=1時，an=sn＝2
當(dāng)n≥2 時, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1
而n=1時，a1=2不適合上式
∴當(dāng)n=1時，an=2
當(dāng)n≥2 時, an=2n-1
2、利用sn和an的關(guān)系求an
思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關(guān)系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解
例７、在數(shù)列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an
解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)
an=2an-1
∴｛an｝是以２為公比的等比數(shù)列
∴an=a1·2n-1= -3×2n-1
2、用不完全歸納法猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明.
思路:由已知條件先求出數(shù)列前幾項(xiàng)，由此歸納猜想出an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明
例8、(2002全國高考)已知數(shù)列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an
解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6
由此猜想an=n+1，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊
即當(dāng)n=1時命題成立
假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即ak=k+1
則 ak+1=a2k-kak+1
=(k+1)2-k(k+1)+1
=k2+2k+1-k2-2k+1
=k+2
=(k+1)+1
∴當(dāng)n=k+1時，命題也成立．
綜合(1),(2),對于任意正整數(shù)有an=n+1成立
即an=n+1
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