數(shù)學(xué) 函數(shù)的教學(xué)教案
數(shù)學(xué) 函數(shù)
反函數(shù)
就關(guān)系而言，一般是雙向的 ，函數(shù)也如此 ，設(shè)y＝f（x）為已知的函數(shù)，若對(duì)每個(gè)y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y(tǒng)，這是一個(gè)由y找x的過(guò)程 ，即x成了y的函數(shù) ，記為x＝f -1（y）。稱f -1為f的反函數(shù)。習(xí)慣上用x表示自變量 ，故這個(gè)函數(shù)仍記為y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx與y＝arcsinx 互為反函數(shù)。在同一坐標(biāo)系中，y＝f（x）與y＝f -1（x）的圖形關(guān)于直線y＝x對(duì)稱。
隱函數(shù)
若能由函數(shù)方程 F（x，y）＝0 確定y為x的函數(shù)y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數(shù)。
思考：隱函數(shù)是否為函數(shù)？因?yàn)樵谄渥兓倪^(guò)程中并不滿足“一對(duì)一”和“多對(duì)一”
多元函數(shù)
設(shè)點(diǎn)（x1，x2，…，xn） ∈GRn，UR1 ，若對(duì)每一點(diǎn)（x1，x2，…，xn）∈G，由某規(guī)則f有唯一的 u∈U與之對(duì)應(yīng)：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個(gè)n元函數(shù)，G為定義域，U為值域。
基本初等函數(shù)及其圖像 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。
①冪函數(shù)：y＝xμ（μ≠0，μ為任意實(shí)數(shù)）定義域：μ為正整數(shù)時(shí)為（－∞，＋∞），μ為負(fù)整數(shù)時(shí)是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α為整數(shù))，當(dāng)α是奇數(shù)時(shí)為（ －∞，＋∞），當(dāng)α是偶數(shù)時(shí)為（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作為的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論。略圖如圖2、圖3。
②指數(shù)函數(shù)：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定義成為（ －∞，＋∞），值域?yàn)椋? ，＋∞），a＞0 時(shí)是嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)（ 即當(dāng)x2＞x1時(shí)，） ，0＜a＜1 時(shí)是嚴(yán)格單減函數(shù)。對(duì)任何a，圖像均過(guò)點(diǎn)（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。如圖4。
③對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝logax（a＞0）， 稱a為底 ， 定義域?yàn)椋?，＋∞），值域?yàn)椋ǎ蓿蓿?。a＞1 時(shí)是嚴(yán)格單調(diào)增加的，0＜a＜1時(shí)是嚴(yán)格單減的。不論a為何值，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形均過(guò)點(diǎn)（1，0），對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) 。如圖5。
以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù) ，簡(jiǎn)記為lgx 。在科學(xué)技術(shù)中普遍使用的是以e為底的對(duì)數(shù)，即自然對(duì)數(shù)，記作lnx。
④三角函數(shù)：見(jiàn)表2。
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)如圖6，圖7所示。
⑤反三角函數(shù)：見(jiàn)表3。雙曲正、余弦如圖8。
⑥雙曲函數(shù)：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲余弦（ex＋e-x），雙曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，雙曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，函數(shù)是一種關(guān)系，這種關(guān)系使一個(gè)集合里的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)（可能相同的）集合里的唯一元素（這只是一元函數(shù)f（x）＝y(tǒng)的情況，請(qǐng)按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函數(shù)的概念對(duì)于數(shù)學(xué)和數(shù)量學(xué)的每一個(gè)分支來(lái)說(shuō)都是最基礎(chǔ)的。
術(shù)語(yǔ)函數(shù)，映射，對(duì)應(yīng)，變換通常都是同一個(gè)意思。
二次函數(shù)
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。）
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）] 對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c 其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的.圖像是一條拋物線。
拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x = -b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。）
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）] 對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c 其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x = -b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。
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